कापरेकर, दत्तात्रय रामचंद्र
‘संख्यांशी ख्यांशी लीलया खेळणारा खेळीया’ असे ज्यांचे सार्थ वर्णन केले गेले आहे, ते दत्तात्रय रामचंद्र कापरेकर हे गेल्या पिढीत होऊन गेलेले देवळालीच्या शाळेतील एक शिक्षक, परंतु त्यांचे जीवनकार्य रामानुजम यांच्याप्रमाणेच संपूर्णतया संख्यामय झालेले होते. ६० वर्षांच्या कार्यरत आयुष्यात कापरेकरांनी शोधून काढलेल्या भिन्न प्रकारच्या संख्या, त्यांचे गुणधर्म, आकृतिबंध व मनोरंजक जादूच्या आकृत्या, यांमुळे ते भारतातील करमणूकप्रधान गणिताचे अग्रणी ठरतात.
कापरेकरांचे मॅट्रिकपर्यंतचे शिक्षण ठाणे येथे, तर उच्चशिक्षणाची सुरुवात मुंबईच्या सेंट झेवियर महाविद्यालयापासून झाली. ते १९३० साली पुण्याच्या फर्गसन महाविद्यालयातून बी.एस्सी. झाले. मात्र आजन्म खादी वापरणे व इंग्रज सरकारची नोकरी न करणे, ही दोन तत्त्वे त्यांनी कटाक्षाने पाळली. ते १९३० सालापासून १९६२ सालापर्यंत देवळालीच्या शाळेत शिक्षक होते. शाळेच्या वेळात अध्यापनाचे कर्तव्य चोखपणे बजावून बाकीचा क्षण न् क्षण कापरेकर संशोधनात इतके मग्न असत. की, स्वत:च्या पोशाखाकडे लक्ष द्यावयासही त्यांना वेळ मिळत नसे. कित्येक वेळा महत्त्वाच्या व्याख्यानासाठीही ते गबाळ्या पोशाखात हजर होत असत.
‘मुलाचे पाय पाळण्यात दिसतात’, या म्हणीचा प्रत्यय कापरेकरांच्या गणू मास्तरांना आला होता. आकड्यांशी खेळणे, गुंतागुंतीच्या गणिती क्रिया पटकन करणे व गणिती कोडी सहज सोडविणे यांतील लहानग्या दत्तूचे कौशल्य या चाणाक्ष मास्तरांनी तेव्हाच हेरले होते. बाळपणीचा हा छंद, नादिष्टपणा म्हणता येईल इतक्या पराकोटीला जाऊन व्यसनासक्त माणसाला दुसरे काही सुचत नाही, तशी संख्यांच्या आहारी गेलेल्या कापरेकरांची स्थिती झाली. इतक्या परिश्रमांनंतर काढलेले निष्कर्ष जाणकारास दाखवावेत, तर शाबासकीऐवजी ‘फारच बाळबोध’सारखे कुत्सित शेरे त्यांच्याकडून ऐकावे लागत. मात्र जागोजागी असा हिरमोड होत असताना, कापरेकरांच्या कामाचे कौतुक करून पुढील वाटचालीसाठी प्रोत्साहन देणाऱ्या प्रा.मो.ल. चंद्रात्रेय यांच्या रुपाने त्यांना एक देवमाणूस भेटला.
१९२३ साली पहिल्या वर्षासाठी मुंबईच्या सेंट झेवियर महाविद्यालयात डोंबिवलीहून जाण्या-येण्यात कापरेकरांचा सुमारे तीन तास वेळ जात असे. मात्र या काळात गाडीत कोणत्या ना कोणत्यातरी संख्येसंबंधी त्यांचे चिंतन चालू असे. एकदा तर त्यांनी गाडीचे डबे, इंजीन, प्रवासी तिकीट यांच्यावरील संख्यांचे निरीक्षण आरंभिले. आश्चर्य म्हणजे बऱ्याच दिवसांच्या अशा निरीक्षणाअंती एक दिवस आगगाडीच्या डब्यातच कापरेकरांना डेम्लो संख्या गवसल्या! पुढे त्यांच्यावर बरेच मनन-चिंतन करून त्यांनी त्या विषयावर लिहिलेले दोन ग्रंथ मुंबई विद्यापीठाच्या अर्थसाहाय्याने प्रकाशित केले. ही डेम्लो संख्या त्यांच्या नावाशी इतकी चिकटली, की कापरेकर नाव उच्चारताच ते डेम्लो संख्यावाले का? असे विचारले जाऊ लागले. अशा भिन्न संख्यांचा शोध घेत असताना, कापरेकरांनी स्वयंभू, संगम, द्विमुखी, कापरेकर, दत्तात्रय, हस्तलाघव, रिक्तपदभरण वगैरे कल्पक नावाच्या १३/१४ संख्यांबरोबरच आकडेमोडीच्या लघुरीती शोधून काढल्या. त्यांच्यापाशी जमा झालेले हे ज्ञानभंडार त्यांनी मुक्तहस्ताने शालेय विद्यार्थ्यांपुढे सादर करावयास सुरुवात केली. त्याचा इतका बोलबाला झाला, की कापरेकरांना निरनिराळ्या शाळा व गणितप्रेमी मंडळांकडून आमंत्रणे येऊ लागली. या कार्यक्रमांतून सोप्या रीती कळल्याने मुलांच्या मनांतील गणिताची अढी दूर होऊन त्यांना विषयाची गोडी वाटू लागली.
योगायोगाने ज्या फर्गसन महाविद्यालयातून कापरेकरांनी पदवी घेतली, तेथे रँ.महाजनी अध्यक्ष व श्रोतृवृंदात प्रा.मो.ल. चंद्रात्रेय, अशा सभेत व्याख्यान द्यायची कापरेकरांना संधी मिळाली. व्याख्यानानंतर दोन्ही गणितज्ञांनी मोकळ्या मनाने त्यांचे कौतुक करून उत्तेजन दिले. याशिवाय इंडियन मॅथेमॅटिकल सोसायटीच्या वार्षिक अधिवेशनांना जाऊन तेथे आपले संशोधन मांडावे, असे महाजनींनी सुचविले. त्यांचा हा सल्ला शिरोधार्य मानून १९३८ सालच्या लखनौ अधिवेशनापासून कापरेकर दरवर्षी या गणिती संमेलनांना हजर राहून त्या-त्या वर्षाचे आपले संशोधनाचे निष्कर्ष मान्यवरांपुढे मांडू लागले. भिन्न प्रांतांतून आलेल्या प्रतिनिधींनी कापरेकरांच्या या उपक्रमाचे स्वागत केले, त्यावर ते चर्चा करू लागले. अशा मंडळींत पी.एल. भटनागर, डी.एस. कोठारी, वेंकटरमण, हंसराज गुप्ता, के. रामचंद्र, एस. श्रीनिवासन हे काही तत्कालीन थोर गणितज्ञ त्यांना मार्गदर्शनही करू लागले. तसेच ‘मॅथेमॅटिक्स स्टुडण्ट्स’, ‘सायन्स टुडे’ या भारतीय व ‘स्क्रिप्टा मॅथेमॅटिका’, ‘अमेरिकन मॅथेमॅटिकल मंथली’, ‘जर्नल ऑफ रिक्रिएशनल मॅथेमॅटिक्स’ या अमेरिकी नियतकालिकांतून कापरेकरांच्या कामाला प्रसिद्धी मिळू लागली. परिणामी एच. हासे, जी.डी. प्रिशेट, ए.एल. लुडिंग्टन, ए.मॅकोवस्की, मार्टिन गार्डनर, सॅम्युअल याटस वगैरे पाश्चात्त्य गणित लेखकांनी कापरेकरांच्या संशोधनावर लेखन केले. त्यांपैकी मार्टिन गार्डनरने म्हटले की, ‘‘कापरेकर स्थिरांका’मुळे ते बहुपरिचित झाले,’’ तर सॅम्युअल याटसने म्हटले की, ‘‘असामान्य गणितज्ञांची सर्जकता तारुण्यात बहरून येते, पण वृद्धावस्थेत ती लयाला जाते. मात्र कापरेकर पंचाहत्तराव्या वर्षीदेखील तितक्याच जोमाने सर्जनशील आहेत.’’
कापरेकरांनी हाताळलेला करमणूकप्रधान गणितातील मनाला सर्वांत जास्त भावणारा प्रकार म्हणजे ३,३, ४, ४, ५, ५ चे चौरस, पंचकोनी चांदणी, षट्कोन अशा आकृत्यांत भरलेल्या अंकांची बेरीज निरनिराळ्या प्रकारे केली असता एकच उत्तर येते त्यांच्या कोपर्निकस, रँ.परांजपे, म.गांधींवरील चौरसांतील आकड्यांची २०/२२ प्रकारे केलेली बेरीज एकच येते. यावरून याचा प्रत्यय येतो. जादूगार एखाद्या कार्यक्रमास येताना रंगीत चेंडू, पत्ते वगैरे घेऊन येतो, तद्वत मुडपलेल्या टाचण्या, फिरत्या तबकड्या, घरंगळणारे ठोकळे इत्यादी साधनांच्या मदतीने कापरेकर मुलांना भुरळ पाडीत; पण खरे म्हणजे तेव्हा ते एखादे गणिती तत्त्व मुलांच्या गळी उतरवीत असत. शाळांव्यतिरिक्त कापरेकरांना विविध महाविद्यालये, विद्यापीठे, संशोधन संस्था, मॅथेमॅटिक्स कलोक्वियम येथे निमंत्रित व्याख्याते म्हणून पाचारण केले जाई.
कापरेकरांच्या काही गणिती कृतींचा निर्देश यथोचित ठरेल.
१) कापरेकर स्थिरांक : कोणतीही चार अंकी संख्या (मात्र ४४४४ सारखे चारी अंक समान अशा वगळून) घेऊन ६१७४ हा स्थिरांक येईपर्यंत ‘उलटक्रम वजाबाकी’ ही प्रक्रिया वारंवार करावयाची. जसे :
(अ) ४८३९, निवडलेली संख्या, (ब) ९८४३ ती उतरत्या क्रमाने (क) ३४८९ उलट क्रमाने लिहून (ड) ९८४३ - ३४८९ = ६३५४ मोठयातून लहान वजा करून हीच क्रिया ६३५४ वर करून ३०८७, ३०८७ वरून ८३५२ व ८३५२ वरून शेवटी ६१७४ हा स्थिरांक चौथ्या पायरीत मिळतो. जास्तीत जास्त ७ पायर्यांचा दावा कापरेकर करतात.
टीप : (अ) निवडलेल्या संख्येत सर्व अंक क्रमवार विषम (उदा. ९७५३) किंवा क्रमवार सम (उदा. ८६४२) असतील, तर स्थिरांक ६१७४ एकाच पायरीत येतो.
(ब) संख्या उतरत्या क्रमाने लिहिल्यावर डावीकडून उजवीकडे जाताना, लागोपाठच्या अंकातील फरक ३,२,१ ; ४,२,० अथवा उलट असतील, तर स्थिरांक एकाच पायरीत मिळतो.
२) डेम्लो संख्या : ज्या संख्येत अंकांचे डावा (ङ), मधला (च), उजवा (ठ) असे तीन गट पाडता येतात व ङ+ठ = च मध्ये वारंवार येणारे अंक या अटीची पूर्तता होते, ती डेम्लो संख्या. जसे :
३) स्वयंभू संख्या : ‘अंक बेरीज प्रक्रिये’ने नवी संख्या मिळवता येते. ज्या संख्येवरून ती मिळते, तिला ‘जनक’ किंवा ‘उत्पादक’ संख्या आणि नव्या संख्येस ‘उत्पादित’ संख्या म्हणतात. परंतु, ज्या संख्येस उत्पादक संख्या नाही म्हणजे जी खरोखर ‘स्वनिर्मित’, स्वत: उपजलेली ती स्वयंभू संख्या. जसे : २६ ची २२ ही जनक संख्या. कारण, २२ + २ + २ = २६, २२ ची २० ही जनक संख्या. कारण, २० + २ + ० = २२ परंतु, २० ची जनक संख्या कोणती याचा शोध घेतला, तर अशी संख्या आढळत नाही. पाहा : १६ + १ + ६ = २३ ; १५ + १ + ५ = २१ ; १४ + १ + ४ = १९ वगैरे. स्वयंभू संख्या ओळखण्याची कसोटी कापरेकरांनी दिली आहे. त्यानुसार २००७ ही २१ व्या शतकातील वर्षसंख्या स्वयंभू आहे.
४) द्विमुखी संख्या : उजवीकडून डावीकडे अथवा डावीकडून उजवीकडे वाचल्या किंवा लिहिल्या तरी ज्यांच्यात बदल होत नाही, त्या द्विमुखी संख्या. जसे : ५३५, १३४३१. द्विमुखी संख्या काढण्याच्या कापरेकरांनी काही रीती दिल्या आहेत. नवव्या शतकात होऊन गेलेल्या महावीराचार्य या थोर गणितज्ञाच्या ‘गणितसारसंग्रह’ ग्रंथात २७९९४६८७४४१ = १२३४५६४३२१ अशा पुष्कळ द्विमुखी संख्या आहेत.
५) १३ संख्येचे मनोरंजक गुणधर्म : (ळ) १३ वर्ग = १६९ अंक उलट करून ३१ वर्ग = ९६१. १३ व ३१ प्रमाणे १६९ व ९६१ एकमेकांच्या आरशातल्या प्रतिमा. (ळळ) १३ = ३ + २ + ८, (३२८) वर्ग = १०७५८४ मग १० + ७५ + ८४ = १६९ = १३ वर्ग. अशी १३ ची ६ प्रकारे फोड करून आलेल्या वर्गसंख्यांतील गटसंख्यांची बेरीज १६९ म्हणजे १३ वर्ग काढलेली आहे.
एखादी घटना अथवा दृश्य पाहून त्यास आपल्या कल्पनाशक्तीची जोड देऊन कलाकार आपल्या प्रतिभेच्याद्वारे निर्मिलेल्या कलाकृतीच्या माध्यमातून जो परिणाम साधतो, अगदी तशीच कापरेकरांच्या मनात एखादी संख्या घर करू लागली, की त्या संख्येच्या आरपार त्यांची नजर भिडली जाऊन काहीतरी नवीन लेणे घेऊन येत असे. उदाहरणार्थ, त्यांनी ६ प्रकारे व्यक्त केलेली १७२९ ही रामानुजन संख्या.
विद्यार्थिदशेत १९२७ साली कापरेकरांना, ‘थिअरी ऑफ एन्व्हलप्स’ या निबंधाबद्दल ‘रॅ.परांजपे पारितोषिक’ मिळाले होते. तर मुंबई-पुणे विद्यापीठ आणि विद्यापीठ अनुदान मंडळ यांनी त्यांना अल्पकाळ अनुदान दिले होते.
शिक्षकी पेशाच्या तुटपुंज्या मिळकतीत अयाचित वृत्तीने आजन्म गणिताला वाहून घेणाऱ्या कापरेकरांनी नाशिक येथे अखेरचा श्वास घेतला.
- प्रा. स. पां. देशपांडे
